<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          6 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadoras
          Clia Rosa e Letcia Palaria

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
          CEP 01326-010 
          Tel.: (11) 3253-5011
          Caixa Postal 65149 -- CEP da Caixa Postal 01390-970
          Internet: ~,http:www.ftd.com.br~,
          E-mail: ~,exatas@ftd.com.br~,
<p>
                                I
 Sumrio

 Quarta Parte

 Unidade 3

 14 -- Mximo divisor comum, 
  mnimo mltiplo comum ::::: 395
 Mximo divisor comum ::::::: 395
 Mnimo mltiplo comum :::::: 401
 Retomando o que aprendeu ::: 409 

 Unidade 4

 Geometria: As Ideias 
  Intuitivas ::::::::::::::: 415
 15 -- Ponto, reta e 
  plano ::::::::::::::::::::: 417
 Noo intuitiva de ponto, 
  reta e plano :::::::::::::: 422
 Figuras geomtricas :::::::: 424
 16 -- A reta :::::::::::::: 429
 Posies de uma reta em 
  relao ao cho ::::::::::: 430
 Posies relativas de duas
  retas em um plano ::::::::: 431
 Semirreta :::::::::::::::::: 437
<p>
 Segmento de reta ::::::::::: 440
 Medida de um segmento e 
  segmentos congruentes ::::: 449
 17 -- Giros e ngulos ::::: 455
 Um giro pode ser medido :::: 457
 18 -- Polgonos ::::::::::: 464
 Identificando polgonos :::: 466
 19 -- Tringulos e 
  quadrilteros ::::::::::::: 476
 Tringulos ::::::::::::::::: 476
 Quadrilteros :::::::::::::: 479 

 Unidade 5

 Forma Fracionria dos 
  Nmeros Racionais ::::::: 496
 20 -- A ideia de frao ::: 498
 Conhecendo as fraes :::::: 502
 21 -- Resolvendo problemas 
  que envolvem fraes :::::: 518

<125>
<ta c. mat. 6 ano>
<T+395>
<R+>
 14 -- Mximo divisor comum, 
  mnimo mltiplo comum

 Mximo divisor comum
<R->

  Acompanhe as situaes a seguir.
<R+>
 1- Preciso saber quais so os divisores comuns dos nmeros naturais 40 e 60 e, dentre
esses, qual  o maior.

 Veja como podemos fazer:

 o Primeiro, determinamos os divisores de 40 e os divisores de 60:

 D(40)=~l1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40_,
 D(60)=~l1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60_,

 Observando esses conjuntos, percebemos que os divisores comuns de 40 e 60 so:
1, 2, 4, 5, 10 e 20.

 o O maior desses divisores  20. Ento, 20  o mximo divisor comum de 40 e 60.

 Indicamos: m.d.c.(40, 60)=20.
<R->

  Dados dois ou mais nmeros naturais, no simultaneamente nulos,
denomina-se mximo divisor comum desses nmeros o maior
dos seus divisores comuns.

<R+>
 Uma outra forma de encontrar o mximo divisor comum (m.d.c.)  fazer a decomposio
simultnea dos nmeros e considerar apenas os fatores primos comuns de 40 e 60. Veja:

<F->
40, 60 _ 2
20, 30 _ 2
10, 15 _ 2
 5, 15 _ 3
 5, 5  _ 5
 1, 1  _ 
<F+>

<p>
 2 -- fator comum
 2 -- fator comum
 2 -- no  fator comum porque no divide o 15
 3 -- no  fator comum porque no divide o 5
 5 -- fator comum

 O produto desses fatores comuns ser o m.d.c. procurado:
m.d.c.(40, 60)=225=
  =45=20.

<126>
 2- Na escolinha de futebol, a turma dos meninos tem 48 alunos, e a turma das meninas tem
42 alunas. O professor de Educao Fsica quer organizar 
os treinos com todos os alunos dessas duas turmas, mas ele est com um problema.
<R->

 _`[O professor diz_`] 
  "Quero formar grupos com o mesmo nmero de alunos e colocar o maior nmero
possvel de alunos em cada grupo. Mas no posso misturar os alunos de uma turma com os da outra. 
Quantos alunos devo colocar em cada grupo? Quantos sero os grupos de 
meninas? E de meninos?"

<R+>
 Vamos resolver o problema do professor!
 Para saber quantos sero os alunos em cada grupo, o professor deve encontrar o nmero
que  o maior divisor comum de 48 e 42. Ele precisa determinar o m.d.c.(48, 42).
 Fazendo a decomposio simultnea e considerando apenas os fatores primos comuns
a 48 e a 42, temos:

<p>
<F->
48, 42 _ 2 :> fator comum
24, 21 _ 2
12, 21 _ 2
 6, 21 _ 2
 3, 21 _ 3 :> fator comum
 1, 7  _ 7
 1, 1  _
<F+>

 m.d.c.(48, 42)=23=6
 486=8 e 426=7

 O professor deve colocar 6 alunos em cada grupo.
 Sero formados 8 grupos com os meninos e 7 grupos com as meninas.

<127>
 Exerccios

 1. Os nmeros 54 e 72 possuem divisores comuns.
Qual  o maior deles?

 2. Aplicando a tcnica da decomposio simultnea
em fatores primos, determine o
m.d.c. dos nmeros naturais:
 a) 50 e 75. 
 b) 112 e 70. 
 c) 150 e 250. 
 d) 90 e 225. 
 e) 56, 84 e 210.
 f) 504 e 588.
 g) 39, 65 e 91.
 h) 144, 216 e 288.

 3. O nmero natural N  o maior divisor comum dos
nmeros 96, 144 e 240. Que nmero deve ser N?
 4. Duas tbuas devem ser cortadas em pedaos
de mesmo comprimento, sendo esse comprimento
o maior possvel. Se uma tbua tem
90 centmetros, e a outra tem 126 centmetros,
qual deve ser o comprimento de cada pedao,
se toda a madeira deve ser aproveitada?
<R->

<p>
 Mnimo mltiplo comum

  Acompanhe mais estas situaes:

<R+>
 1- Um nmero natural N, diferente de zero,  o menor mltiplo de 12, 15 e 20 ao mesmo
tempo. Qual  o nmero N?

 Para resolver esse problema, inicialmente escrevemos os conjuntos de mltiplos de
12, 15 e 20:
 M(12)=~l0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ..._,
 M(15)=~l0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, ..._,
 M(20)=~l0, 20, 40, 60, 80, 100, ..._,
 Observando esses conjuntos, verificamos que o menor nmero natural, diferente de
zero, mltiplo ao mesmo tempo de 12, 15 e 20,  60.
 O nmero 60  chamado mnimo mltiplo comum (m.m.c.) de 12, 15 e 20.
 Indicamos: m.m.c.(12, 15, 20)=60.
<R->

  Dados dois ou mais nmeros naturais no-nulos, denomina-se
mnimo mltiplo comum (m.m.c.) desses nmeros o menor de
seus mltiplos comuns que seja diferente de zero.

<R+>
 Uma outra forma de encontrar o mnimo mltiplo comum (m.m.c.)  fazendo a decomposio
simultnea dos trs nmeros dados. Veja.

<F->
12, 15, 20 _ 2
 6, 15, 10 _ 2
  3, 15, 5 _ 3 
   1, 5, 5 _ 5
   1, 1, 1 _
<F+>

 m.m.c.(12, 15, 20)=
  =2235=435=60

 O nmero N procurado  60.

<128>
<p>
 2- Dois navios fazem viagens entre dois portos: o primeiro navio viaja a cada 24 dias e o segundo,
a cada 30 dias. Se esses navios, em um determinado dia, partiram juntos, depois de
quantos dias voltaro a sair juntos?

 Para resolver esse problema,  necessrio encontrar o nmero que representa o
menor mltiplo comum dos nmeros dados, ou seja, o m.m.c.(24, 30):

<F->
24, 30 _ 2
12, 15 _ 2
 6, 15 _ 2
 3, 15 _ 3
  1, 5 _ 5
  1, 1 _
<F+>

 m.m.c.(24, 30)=2335=
  =835=120

 Os dois navios voltaro a sair juntos depois de 120 dias.

 Exerccios

 1. Usando a decomposio simultnea em fatores
primos, determine:
 a) m.m.c.(30, 75) 
 b) m.m.c.(18, 60) 
 c) m.m.c.(66, 102)
 d) m.m.c.(36, 54, 90)
 e) m.m.c.(48, 20, 40, 36)

 2. Vov foi viajar com
a turma da *Melhor Idade*
do bairro. Quantos havia
na viagem, se podemos
cont-los de 8 em 8 ou
de 10 em 10?
 3. Duas pessoas, fazendo exerccios dirios,
partem simultaneamente de um mesmo ponto
e, andando, contornam uma pista oval que
circunda um jardim. Uma dessas pessoas d
uma volta completa na pista em 12 minutos. A
outra, andando mais devagar, leva 20 minutos
para completar a volta. Depois de quantos minutos
essas duas pessoas volta-
<p>
  ro a se encontrar
no ponto de partida?
 4. Um relgio A bate a cada 15 minutos, outro
relgio B bate a cada 25 minutos, e um terceiro
relgio C bate a cada 40 minutos. Qual , em horas,
o menor intervalo de tempo decorrido entre
duas batidas simultneas dos trs relgios?
 5. Trs luminosos acendem em intervalos regulares.
O primeiro a cada 20 segundos, o segundo
a cada 24 segundos e o terceiro a cada
30 segundos. Se, em um dado instante, os trs
acenderem ao mesmo tempo, depois de quantos
segundos os luminosos voltaro a acender
simultaneamente?
 6. A estao rodoviria de uma cidade  o ponto
de partida das viagens intermunicipais. De
uma plataforma da estao, a cada 15 minutos,
partem os nibus da *Viao Sol*, com destino 
cidade *Paraso*. Os nibus da *Viao Lua* partem
da plataforma vizinha a cada 18 minutos, com
destino  cidade
  *Porta do Cu*.
Se, s 8 horas,
os dois nibus
partirem simultaneamente,
a que horas
os dois nibus
partiro juntos
novamente?
 7. De um aeroporto partem, todos os dias,
trs avies que fazem rotas internacionais. O
primeiro avio faz a rota de ida e volta em 4
dias, o segundo em 5 dias e o terceiro, em 10
dias. Se, certo dia, os trs avies partirem simultaneamente,
depois de quantos dias esses
avies partiro novamente no mesmo dia?
 8. Ao separar o total de suas figurinhas, em
grupos de 12, de 15 e 24, Caio observou que sobravam
sempre 7 figurinhas fora dos grupos. Se
o total das figurinhas for compreendido entre
200 e 300, qual ser a soma dos algarismos do
nmero de figurinhas de Caio?
<R->

<129>
<p>
 Brasil real 

 wr Meio Ambiente

  As maiores rvores do mundo chegam a *165* metros de altura (eucaliptos da Austrlia). Para
"abraar" a base do tronco de uma sequoia (Califrnia) so necessrias muitas pessoas, j que
o "abrao" tem de envolver os *13* metros do dimetro da rvore, cuja longevidade ultrapassa
os *2000* anos!
  Entre a imensa variedade de rvores brasileiras, temos:

<R+>
 _`[Foto 1: um ip-amarelo_`]
 Legenda: O ip-amarelo, que chega a atingir
*10* metros de altura e cujos frutos so
vagens de, aproximadamente, *20* cm.

 _`[Foto 2: um jacarand_`]
 Legenda: O jacarand, famoso pela boa qualidade de sua
madeira, que chega a atingir *25* metros de altura.
Por ser muito explorado, dificilmente se v hoje em
dia um jacarand de grande porte nas matas.

 _`[Foto 3: um jequitib_`]
 Legenda: O jequitib, considerado uma rvore de grande
porte, que chega a atingir at *45* metros de
altura. Presente na Mata Atlntica, seu fruto j
foi muito utilizado para fazer cachimbo.

 a) Seis dos nmeros destacados no texto so divisveis por um mesmo nmero primo menor
que 100. Que nmero primo  esse?
 b) Determine todos os divisores de 165.

 c) Suponha que em uma cidade exista uma praa retangular com 80 metros de comprimento e
50 metros de largura. Para comemorar o Dia da rvore, os estudantes plantaro mudas de ip-amarelo 
ao redor dessa praa, todas  mesma distncia. Imagine que em cada ponta da praa
tenha uma rvore plantada e responda:
 I. Qual a maior distncia possvel entre as mudas de ip plantadas?
 II. Quantas mudas de ip sero necessrias?
<R->

<130>
 Retomando o que aprendeu

  Responda s questes em seu caderno.

<R+>
 1. Uma vila tem 50 casas numeradas de 1 a
50. Em quantas casas dessa vila os nmeros
so mltiplos de 2 e de 3 ao mesmo tempo?
Quais so os nmeros?
 2. O nmero #a.b~c5  divisvel por 3 e por 5.
Qual  a soma dos possveis algarismos que c
pode assumir?
 3. Quantos nmeros formados por trs algarismos
so mltiplos comuns de 90 e 135?
Quais so esses nmeros?

 4. Adriana est se preparando para a Olimpada
de Matemtica. Quer saber quantos exerccios ela
resolveu esses dias? Ento, preste ateno:
<R->

 _`[Adriana diz_`]
  "Contando de 2 em 2, sobra 1. Contando de 3 em 3, sobra 1. De 5 em 5, tambm sobra 1. E de 7 em 7, no sobra exerccio algum."

<R+>
 Sabendo que o total de exerccios ultrapassa 50, mas no chega a 100, quantos execcios Adriana resolveu?
 a) 91
 b) 93
 c) 95
 d) 98
 e) 99

 5. Sabe-se que 2a3bc2  a forma fatorada do
nmero 1.800. Qual  o valor da expresso a+b+c?
<p>
 a) 5 
 b) 7 
 c) 9 
 d) 10 
 e) 12

 6. Seja o nmero natural N=488.a9b, em que
b  o algarismo das unidades e a, o algarismo
das centenas. Sabe-se que N  divisvel por 15,
ou seja,  divisvel por 5 e por 3 ao mesmo tempo.
Qual  o maior valor da expresso a+b?
 a) 4 
 b) 7 
 c) 10 
 d) 13 
 e) 16

 7. Em uma sala existem 6 caixas numeradas
com os mltiplos sucessivos de 4, comeando
por 4. No interior de cada caixa existe uma
quantidade de bolas igual ao nmero exibido
na parte externa da caixa. O total de bolas existentes
em todas as caixas :
 a) 48 
 b) 56 
 c) 64 
 d) 72 
 e) 84

 8. Com a ajuda de supercomputadores, pesquisadores
tm "descoberto" nmeros primos
cada vez maiores. Por exemplo, (213.466.917-1) e
(230.402.457-1) so dois desses nmeros. Sendo a
o valor do m.m.c. entre esses dois nmeros e b
o m.d.c. entre eles, qual o valor de ba?

 9. O ponto do Jardim Zoolgico  a nica parada
que  comum a duas linhas circulares de
nibus. Os nibus das duas linhas, A e B, circulam
com velocidades iguais, ininterruptamente.
O percurso do nibus da linha A tem 6 quilmetros
de extenso. O percurso do nibus da
linha B tem 15 quilmetros. Se eles partirem ao
mesmo tempo do ponto do Jardim Zoolgico, a
prxima oportunidade de se encontrarem nesse
ponto ser depois que o nibus da linha A
tiver completado quantas voltas?
 a) 4 
 b) 5 
 c) 6 
 d) 8 
 e) 10

 10. O planeta *Rubro* possui dois satlites naturais:
*Lua Alva* e *Lua Bela*. O planeta gira em torno
da estrela *Ganimedes* e os satlites, em torno do
planeta *Rubro*, de forma que o alinhamento 
  *Ganimedes-Rubro-Lua Alva* ocorre a cada 18 anos, e
o alinhamento *Ganimedes-Rubro-Lua Bela* ocorre a
cada 48 anos. Se no ano em que estamos ocorrer
o alinhamento *Ganimedes-
  -Rubro-Lua Alva-Lua Bela*,
daqui a quantos anos esse fenmeno se repetir?
 a) 96 anos. 
 b) 120 anos.  
 c) 144 anos. 
 d) 192 anos.
 e) 240 anos.
<R->

               oooooooooooo

<131>
<p>
 Unidade 4

 Geometria: As Ideias 
  Intuitivas

<R+>
 _`[O contedo desta unidade bem como as atividades propostas, so 
predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

 Use a sua intuio

  O que estas fotos tm a ver com a Geaometria?

<R+>
 _`[Foto de um estdio de futebol e de um violo_`]
<R->

  *Poly* vem do grego e quer dizer vrios, e *gonon*, tambm do grego, significa ngulo. Sabendo disso, pense na palavra polgono.
  Aproveite e pense tambm sobre os significados de: 
<p>
 policlnica
 policromado
 polimorfo.
  Pensou?
  Agora, procure no dicionrio o significado de cada uma dessas palavras.

 A geometria na arte ou a arte da 
  geometria?

  Pablo Picasso (1881-1973), pintor e escultor espanhol, comeou, em 1907, a desenvolver o estilo que depois seria batizado de cubismo. Picasso  considerado
um dos artistas mais famosos e versteis do mundo.

<R+>
 _`[Pintura com algumas formas geomtricas_`]
 Legenda: *Fbrica em Horta de Ebro*, de Pablo Picasso, 1909.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<132>
<p>
 15 -- Ponto, reta e plano

 O conhecimento geomtrico e os 
  povos antigos

 Como os babilnios usavam a 
  Geometria?

  H indcios de que os babilnios, desde 2000 a.C., desenvolveram um considervel conhecimento
geomtrico.
  Um exemplo de como o conhecimento geomtrico era utilizado  a placa de barro babilnica
da foto, datada de 1300 a.C.
  Nela, os traos grossos indicam canais de irrigao, sendo o principal deles em formato de U.
A rea central demarcada por esse canal pertencia s lavouras do rei. Os pequenos crculos eram
terras destinadas  populao. O restante da rea pertencia aos templos dos deuses ali cultuados.
Parte da produo agrcola dos templos tambm era do rei.

<R+>
 Os egpcios tambm tinham em uso prtico da Geometria.
<R->

  No Antigo Egito, a Geometria era amplamente utilizada. Os agrimensores usavam-na para
medir terrenos, enquanto os construtores recorriam a ela para fazer edificaes.
  As famosas pirmides, construdas prximo ao Rio Nilo, so um timo exemplo disso.
  Os egpcios ganharam tanta fama que alguns matemticos gregos buscaram no Egito novas
aplicaes na Geometria.

<R+>
 Os gregos organizaram o conhecimento geomtrico.
<R->

  Por volta de 600 a.C., os matemticos gregos comearam a sistematizar os conhecimentos geomtricos
que foram adquirindo, fazendo com que a Geometria deixasse de ser puramente experimental.
  Esse trabalho de organizao lgica dos conhecimentos matemticos foi feito principalmente
pelo matemtico grego Euclides, por volta de 300 a.C.
  Para se ter ideia da importncia dessa organizao, a Geometria que ensinamos hoje  praticamente
a mesma de Euclides.

<R+>
 _`[Foto_`]
 Legenda: Placa de barro babilnica, datada de 1300 a.C.

 _`[{mapa: *Antigo Egito e 
  Babilnia* no adaptado_`]
<R->

<133>
 Explorando

  Voc j teve uma ideia intuitiva?

 _`[O menino diz_`]
  Mas... O Que  uma ideia intuitiva?

  Ter uma ideia intuitiva  ter uma
percepo instantnea de algo. Ao
observarmos o mundo, certas ideias se
formam em nossa mente de modo intuitivo
e nos ajudam a compreender a realidade.

  Em Geometria, algumas ideias so intuitivas.
  So elas o ponto, a reta e o plano.

 _`[O menino diz_`]
  Cada estrela
d a ideia de ponto.

 _`[Um rapaz diz_`]
  A corda do berimbau bem
esticada d a
ideia de reta.

 _`[O menino diz_`]
  A superfcie do campo de
futebol d a ideia de plano.

<134>
 Chegou a sua vez!

<R+>
 1. Observando a sala de aula, voc reconhece algo que d a ideia de:
<p>
 a) ponto? 
 b) reta? 
 c) plano?

 2. Para cada item, pense em trs exemplos que lembrem as ideias de ponto, reta e plano:
 a) na natureza. 
 b) na sua casa. 
 c) no seu material escolar.
 d) no trajeto que voc faz de casa  escola.

 3. Se voc tatear objetos como os que vemos a seguir, vai perceber bicos que lembram pontas
(vrtices), quinas que lembram partes de retas (arestas) e superfcies que lembram partes de
planos (faces).

 _`[{figuras adaptadas_`]
 Figura A: uma caixa de sapato
 Figura B: uma pirmide

 a) Com suas palavras, descreva as figuras A e B.
<p>
 b) Cite dois exemplos de objetos, construes etc. que lembrem essas formas.

 Noo intuitiva de ponto, reta e plano
<R->

  Em Geometria, o ponto no possui dimenses.
  A indicao do ponto  feita, geralmente, por letras maisculas do nosso alfabeto.
 
<F->
   A             B
   o             o
Ponto A.     Ponto B.
<F+>

  Em Geometria, a reta  imaginada sem espessura, no tem comeo nem fim e  ilimitada
nos dois sentidos.  impossvel representar uma reta no papel ou no quadro-de-giz. Por
esse motivo, representamos apenas uma parte da reta e indicamos com letras minsculas
do nosso alfabeto. Veja:

<p>
 Reta r.

<F->
 r
   
    
     
      
       
        
         
          
           
            

Reta s.

 s--------------
<F+>

<135>
  Em Geometria, o plano  imaginado sem fronteiras, ilimitado em todas as direes.
  Assim como no caso da reta, seria impossvel representar o plano no papel ou no quadro-de-giz. 
Por esse motivo, representamos apenas uma parte do plano e a indicamos
com letras minsculas do alfabeto grego: ^a `(alfa`), ^b `(beta`), 
 ^g `(gama`), ...
  As ideias de ponto, reta e plano so modelos criados pelo ser humano e usados para
compreender melhor certos aspectos do mundo.

 Figuras geomtricas

  O cubo  um slido geomtrico. Um exemplo de uma figura geomtrica cbica  o dado.
  Contornando a face de um dado apoiado em uma folha de papel, observamos que todos
os pontos da figura traada esto no plano representado pela folha de papel.
  As figuras geomtricas que esto contidas em um plano, isto , que tm todos os seus
pontos em um mesmo plano, so chamadas figuras geomtricas planas.

<136>
 _`[A professora diz_`]
  "A face de um dado  uma figura geomtrica plana. O dado (cubo) 
 uma figura
geomtrica no-plana."
<L>
 Exerccios

<R+>
 1. Dentre os elementos descritos no quadro,
quais nos do a ideia de:
 a) ponto? 
 b) reta? 
 c) plano?

 !::::::::::::::::::::::::::::::::
 l superfcie de uma parede       _
 r::::::::::::::::::::::::::::::::w
 l superfcie de um quadro-de-giz _
 r::::::::::::::::::::::::::::::::w
 l cabea de alfinete             _
 r::::::::::::::::::::::::::::::::w
 l encontro de duas paredes       _
 r::::::::::::::::::::::::::::::::w
 l superfcie de piscina          _
 r::::::::::::::::::::::::::::::::w
 l corda esticada                 _
 h::::::::::::::::::::::::::::::::j

 2. O professor de Geografia pediu aos alunos
que desenhassem numa folha de papel o mapa
do Estado onde nasceram. O desenho que eles
fizeram representa uma figura geomtrica plana
ou no-plana?

 3. So figuras planas ou no-planas?
 a) A planta de uma casa desenhada em papel
vegetal.
 b) E a maquete dessa mesma casa?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<137>
 Desafios!

  Troque ideias com o colega para trabalhar com planificaes.
  Desmontando uma caixa de papelo, obtemos a planificao dessa caixa. Veja, por exemplo, uma
caixa com a forma de cubo:

 _`[Desenho no adaptado_`]

  H mais de uma planificao de cubo!

<R+>
 1. Com um colega descubram e registrem no caderno quais das figuras a seguir representam uma
superfcie cbica planificada. Se necessrio, copiem as planificaes em papel quadriculado e tentem
montar os cubos.

<F->
a) 
   y
 yy
   yy
   y

b)
 yy
   yyy
       y

c)
 y  y
 yyy
 y  y

<p>
d)
     y
 yyy
     yy

e)
 yy
 yy
 yy

f) 
       y
 yyyy
   y

g)
   y
 yyy
 y  y

h)
     yy
   yy
 yy
<F+>

<p>
 2. Verifiquem qual dos seis cubos corresponde  planificao dada.

 _`[Desenhos no adaptados_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<138>
 16 -- A reta

  Observando as figuras seguintes, intumos que:

<R+>
 o por um ponto P qualquer de um
plano ^a passam infinitas retas.
 o por dois pontos distintos, A e B, de um
plano ^a, passa uma e s uma reta.

<p>
 Posies de uma reta em relao 
  ao cho

  Considere as fotos a seguir.

 _`[Trs fotos seguidas por legenda_`]
 Legenda 1: O mastro de uma bandeira d a
ideia de reta. Em relao ao cho,
essa reta ocupa a posio vertical.
 Legenda 2: O encontro do tampo com a parte
lateral de uma mesa d a ideia
de reta. Em relao ao cho, essa
reta ocupa a posio horizontal.
 Legenda 3: A beirada da frente do telhado de
uma casa d a ideia de reta. Em
relao ao cho, essa reta ocupa
a posio inclinada.

<139>
<p>
 Posies relativas de duas retas em um plano
<R->

  Este mapa  parte da planta de uma cidade. Observe-o.

 _`[{mapa no adaptado_`]

  A Rua 7 de Setembro e a 
 Avenida Repblica no se cruzam. Dizemos que essas ruas
so paralelas. O mesmo ocorre com a Rua 7 de Setembro e a Avenida 
 Independncia.
  A Rua da Liberdade "corta" a Rua 7 de Setembro. Dizemos que essas ruas so concorrentes.
O mesmo ocorre com a Rua da 
 Liberdade e a Avenida 
 Independncia.
  Agora, acompanhe os modelos matemticos a seguir.

  As retas r e s, contidas
em ^a, no possuem
ponto comum.

<p>
<F->
 r   s
     
      
       
        
          
          
           
<F+>

  As retas r e s so denominadas
retas paralelas. Indicamos: r_ls.

  As retas r e t, contidas em ^a,
possuem um nico ponto
comum, que  o ponto A.

<F->
  r      t
          
         
        
       
     oA 
     
      
       
        
<F+>

<p>
  As retas r e t so denominadas
retas concorrentes ou secantes.

<140>
  Observaes:

<R+>
 o Lembrando que a reta  imaginada sem
comeo e nem fim, esta figura representa
retas concorrentes ou secantes.
 
 _`[{figura no adaptada_`]

 o Duas retas a e b podem coincidir,
ou seja, podem estar ocupando a mesma
posio no plano. Nesse caso, dizemos
que a e b so retas coincidentes. Elas
tm todos os pontos em comum.

<F->
        
        
      
     
    
    
 a
  b
<F+>

 Exerccios

 1. Considerando um ponto M do plano, quantas
retas podem passar por esse ponto?
 2. So dados dois pontos distintos, P e Q.
Quantas retas podem passar pelo ponto P e
tambm pelo ponto Q?
 3. Quando levanta voo, um avio faz uma trajetria
que d a ideia de reta. Em relao ao solo,
essa reta  horizontal, vertical ou inclinada?

 4. Observe a figura a seguir e d a posio relativa
das retas:

<F->
        a    b
            
 c----------------
              
 d----------------
                
<F+>

 a) a e b 
 b) a e c 
 c) a e d 
 d) c e d
 e) b e c

 5. Observe a foto _`[no adaptada_`].
 a) O encontro de duas paredes d a ideia de
reta. Em relao ao piso, essa reta  horizontal,
vertical ou inclinada?
 b) O encontro do rodap com o cho tambm
nos d a ideia de uma reta. Que posio tem
essa reta em relao  reta formada pelo encontro
das duas paredes?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<141>
 Desafios!

  Troque ideias com o colega para resolver o desafio.
  Quatro amigos moram em 
 Ribeiro Preto, cidade localizada no Estado de So Paulo.

 _`[Anita diz_`]
  A lanchonete onde trabalho fica na rua Amador Bueno.

 _`[Cludio diz_`]
  Meu local de trabalho fica numa rua pararela  de Sueli, entre as ruas Baro do Amazonas e Tibiri.

 _`[Sueli diz_`]
  Eu trabalho numa rua concorrente  de Renato.

 _`[Renato diz_`]
  "A oficina onde trabalho fica na rua Florncio de Abreu.

<R+>
 o Anita e Sueli trabalham em ruas diferentes.
 o O local de trabalho de Sueli fica na esquina
da rua onde 
  Renato trabalha e a 3 quadras da
rua onde Cludio trabalha.

 1. Em que ruas trabalham 
  Cludio e Sueli?
<p>
 2. As ruas onde trabalham 
  Cludio e Anita so paralelas ou concorrentes?
 3. A Avenida J. Gonalves  paralela  rua Jos Bonifcio?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<142>
 Semirreta

  A figura 1 mostra a reta r, que passa pelos
pontos A e B. Essa reta no tem incio nem fim.
  Agora, considere o ponto A e parte da reta r
que, partindo de A, passa por B.

<p>
 Figura 1.

<F->
 
  
   
   oA
     
      
       
        
        oB
         
          
           r
<F+>

  Nesse caso, traamos a semirreta que tem
origem no ponto A e passa pelo ponto B, como
mostra a figura 2. Indicamos: :,?A{b*.

<p>
 Figura 2.

<F->
 oA
   
    
     
      
       
       oB
        
         
          r
<F+>

  Observe novamente a figura 1 e considere 
o ponto B e a parte da reta que, partindo de B, passa
por A.

<p>
 Figura 3.

<F->
 r
   
    
    oA
      
       
        
         
          
          oB
<F+>

  Nesse caso, traamos a semirreta que tem
origem no ponto B e passa pelo ponto A, como
mostra a figura 3. Indicamos: :,?B{a*.

  A semirreta  uma parte da reta, ela tem
origem e  infinita num s sentido.

 Segmento de reta

  Veja o campo de futebol. Cada uma das linhas laterais, prolongadas indefinidamente nos
dois sentidos, sugere a ideia de reta.
<L>
 _`[Desenho adaptado_`]

<F->
        !::::::::::::
        l            _
        l            _
        l            _
        l            _
        l            _
    ::::h::::::::::::j::::r
        A           B
<F+>

  Se considerarmos os pontos A e B, que so extremidades da linha lateral em evidncia
no desenho, e os pontos dessa linha situados entre A e B, a figura geomtrica obtida representa
uma parte da reta.
  Essa parte da reta, que colocamos em evidncia na figura, denomina-se segmento
de reta.

  Se considerarmos uma reta r e sobre ela marcarmos dois pontos, A e B, distintos, o conjunto
de pontos formado pelo ponto A, pelo ponto B e por todos os pontos da reta
que esto entre A e B  chamado segmento de reta ^c?A{b*.

<143>
  Observe:

<F->
r                               
::::o::::::::::::::::::::o::::
    A  segmento de reta  B
<F+>

<R+>
 o Os pontos A e B so as extremidades do segmento.
 o A reta r  a reta suporte do segmento.
<R->
  Para nomear um segmento de reta, indicamos as letras das extremidades desse segmento
com um trao em cima. No exemplo, temos ^c?A{b* (segmento cujas extremidades so
os pontos A e B).

 Observaes:
<R+>
 o Dois segmentos que tm uma extremidade comum so denominados segmentos consecutivos.
 o Dois segmentos que esto numa mesma reta suporte so denominados segmentos colineares.
<p>
 o Um segmento est contido em outro quando todos os seus pontos tambm so pontos
desse outro segmento.
<R->

  Acompanhe o exemplo:

<F->
Ao
   
    
     
     o::::o::::::::::o:::::o
     B    C          D     E 
<F+>

  So exemplos de segmentos consecutivos: ^c?A{b* e ^c?B{c*; ^c?B{c* e ^c?B{d*; ^c?A{b* e ^c?B{e*.
  So exemplos de segmentos colineares: ^c?B{c* e ^c?C{d*; ^c?B{c* e ^c?B{d*; ^c?B{c* e ^c?D{e*.
  So exemplos de segmentos consecutivos e colineares: ^c?B{d* e ^c?D{e*; ^c?C{d* e ^c?B{d*.
<p>
  O 1 segmento est contido no 2 segmento: ^c?C{d* e ^c?B{e*; ^c?C{e* e ^c?B{e*.

 Exerccios

<R+>
 _`[Para as atividades de 1 a 3, pea orientao ao professor_`]

 1. Quantas e quais so as semirretas com origem
no ponto P que esto representadas na figura _`[no adaptada_`]?
 2. Na figura do exerccio anterior, voc observa
quantos segmentos de reta?
 3. Quantos segmentos de reta voc encontra
em cada figura _`[no adaptada_`].

<144>
 4. Observando a figura a seguir, identifique
um segmento que seja:

<p>
<F->
           C
           ^?
         ^   ?
       ^      ?
   B^---------?D
   ^
 ^
 A
<F+>

 a) consecutivo com ^c?C{d*.
 b) colinear com ^c?B{c*.
 c) consecutivo com ^c?B{d*.

 5. Observe a figura.

<F->
   C
   o
   l^
   l  ^
   l    ^
Mo-----oN 
   l       ^ 
   l         ^ 
   o----------oB
   A
<F+>

<p>
 a) Escreva dois segmentos que esto em retas
paralelas.
 b) Escreva um segmento que esteja contido
em ^c?B{c*.
 c) Escreva dois segmentos que tenham como
extremidade comum o ponto A.

 6. O grfico seguinte mostra a evoluo de
venda de dois produtos, A e B, nos seis bimestres
de 2009.

 _`[Grfico adaptado_`]
 Vendas nos seis bimestres de 2009

 Vendas em mil unidades

 Janeiro e fevereiro 
  Produto A -- 10
  Produto B -- 40
 Maro e abril 
  Produto A -- 40
  Produto B -- 30
 Maio e junho 
  Produto A -- 55
  Produto B -- 30
 Julho e agosto
  Produto A -- 45
  Produto B -- 40
 Setembro e outubro 
  Produto A -- 45
  Produto B -- 55
 Novembro e dezembro
  Produto A -- 20
  Produto B -- 35

 Quantos segmentos voc observa nesse grfico?

 7. Em quais figuras voc no encontra segmentos
de reta?

 _`[{figuras adaptadas_`]
 Figura 1: Tringulo  
 Figura 2: Pentgono
 Figura 3: Elipse
 Figura 4: Quadriltero
 Figura 5: Pentgono
 Figura 6: Elipse
 Figura 7: Crculo
 Figura 8: Hexgono

<p>
 8. Analise esta figura e associe V ou F a cada
uma das afirmaes a seguir.

<F-> 
            s
            _
          Mw
            _
            _C        r
 :::w:::w:::o:::w::::::
    A  B  _    D
          Nw
            _
            _
            _
<F+>

 a) ^c?A{b* e ^c?B{c* so consecutivos e colineares.
 b) ^c?M{c* e ^c?C{n* so colineares e no consecutivos.
 c) ^c?B{c* e ^c?C{n* so consecutivos e no colineares.
 d) ^c?A{b* e ^c?C{d* so colineares e no consecutivos.
<R->

<p>
 Desafio!

  Troque ideias com o colega para solucionar o desafio.
  Para ganhar dez moedas, Renata tem de vencer um desafio: arrum-las em cinco fileiras, com quatro
moedas em cada fila.
  Vamos ajud-la? Desenhe no caderno como Renata deve arrumar as moedas.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<145>
<R+>
 Medida de um segmento e segmentos congruentes
<R->

  Medir uma reta ou uma semirreta  impossvel, j que elas tm pelo menos uma parte
infinita. Mas o segmento de reta, por ser limitado, pode ser medido em seu comprimento.
Vamos ver como isso pode ser feito!
  Considere os segmentos:

<F->
            15 cm
r::::::::::::::::::::::::::::::w
A                             B

    5 cm
r:::::::::::w
M         N

  3 cm
r:::::::w
P     Q

1 cm
r:::w
R S
<F+>

  Se usarmos um compasso, verificamos que:
<R+>
 o o segmento ^c?M{n* cabe 3 vezes no segmento ^c?A{b*.
 o o segmento ^c?P{q* cabe 5 vezes no segmento ^c?A{b*.
 o o segmento ^c?R{s* cabe 15 vezes no segmento ^c?A{b*.
<R->

  Comparando o segmento ^c?A{b* com os segmentos ^c?M{n*, ^c?P{q* e ^c?R{s*, obtm-se de cada
comparao um nmero que representa a medida do comprimento do segmento ^c?A{b*.
<R+>
 o Quando a unidade  o segmento ^c?M{n*, a medida do segmento ^c?A{b*  3.
  Indicamos med `(^c?A{b*`)=3.
 o Quando a unidade  o segmento ^c?P{q*, a medida do segmento ^c?A{b*  5.
  Indicamos med `(^c?A{b*`)=5.
 o Quando a unidade  o segmento ^c?R{s*, a medida do segmento ^c?A{b*  15.
  Indicamos med `(^c?A{b*`)=15.
<R->

  Afinal, qual das medidas obtidas (3, 5 ou 15)  correta?
  Na verdade, as trs medidas so corretas, pois cada uma delas foi obtida a partir de
uma unidade-padro diferente. Assim, quando mudamos a unidade de medida, 
mudamos tambm o nmero que expressa a medida do segmento.

<p>
  A medida do comprimento de um segmento  o nmero obtido quando comparamos o
segmento considerado com outro segmento tomado como unidade de medida.

<146>
  Vamos agora medir os segmentos ^c?C{d* e ^c?E{f* usando _`[u_`] como unidade:

<F->
C          D
r:::::::::::w

C          D
r::r::r::r::w
 u  u  u  u

E          F
r:::::::::::w

E          F
r::r::r::r::w
 u  u  u  u
<F+>

  Os segmentos ^c?C{d* e ^c?E{f* tm a mesma medida.

<p>
  Quando dois segmentos tm a mesma medida, tomada na mesma unidade,
dizemos que so segmentos congruentes.

  Como med `(^c?C{d*`)=4u e med `(^c?E{f*`)=4u, ento ^c?C{d* e 
^c?E{f* so segmentos congruentes.

 Exerccios

<R+>
 1. Considere como unidade de medida o segmento
_`[u_`] e use um compasso para determinar
a medida de cada um dos segmentos a
seguir. Registre-a no caderno.
 a) r::::::::::::w
 b) r::::w

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 2. Considerando como unidade _`[u_`] e observando
a figura, calcule:

<F->
r::r::r::r::r::r::r::r::r::r::w
A          B    C       D E
<F+>

 a) med `(^c?A{b*`) 
 b) med `(^c?B{c*`) 
 c) med `(^c?D{e*`) 
 d) med `(^c?A{c*`)
 e) med `(^c?B{e*`)
 f) med `(^c?A{e*`)

 3. O trajeto de uma passeata foi representado
pelo caminho indicado pelas setas da figura,
onde os lados de cada quadrinho representam
quarteires da cidade. Sabendo-se que a passeata
comea e termina no ponto P, quantos quarteires sero percorridos ao todo?

 _`[Desenho no adaptado_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<p>
 4. Observe estas figuras geomtricas planas
formadas por segmentos de reta. Em quais
dessas figuras todos os segmentos so congruentes?
<R->

 _`[Figuras adaptadas_`]
 Figura a: Tringulo equiltero  
 Figura b: Trapzio retngulo
 Figura c: Pentgono
 Figura d: Quadrado
 Figura e: Pentgono regular
 Figura f: Retngulo
 Figura g: Tringulo
 Figura h: Hexgono

               ::::::::::::::::::::::::

<147>
 17 -- Giros e ngulos

 Explorando

<R+>
 1. Valmir teve um dia cheio. Veja por onde ele andou e tente descobrir o que h em comum
entre todas as situaes que ele viveu.

_`[Histria em 5 quadrinhos_`]
 1- O menino diz: Quer saber o que fiz hoje depois da aula?"
 2- "Estava na praa dando voltas de bicicleta, quando minha me me chamou para irmos  cidade."
 3- "Pegamos o nibus..."
 4- "Passamos na agncia bancria. Demoramos meia hora no banco."
 5- "Voltamos para casa, e ainda deu tempo de me divertir fazendo manobras com o meu skate."

 2. No caderno, copie as frases da coluna da esquerda, completando-as com 
palavras dos itens da coluna da direita.

 _`[Coluna da esquerda_`]
 a) Quando Valmir d uma volta completa de bicicleta na praa, ele d... 
 b) Quando passa pela porta do banco, a porta d... 
 c) Quando passa pela roleta (catraca) do nibus, a roleta d... 
 d) Quando Valmir faz a manobra mostrada na figura _`[no adaptada_`], ele d... 

 _`[Coluna da direita_`]
 A) ... um tero de giro.
 B) ... meio giro.
 C) ... um giro completo.
 D) ... um quarto de giro.
<R->

<148>
 Um giro pode ser medido

  Um giro nos d uma ideia de ngulo.
  Com cuidado, fixe usando um percevejo as
pontas de dois palitos de sorvete, de modo que
eles girem em torno desse percevejo.

  Segure um dos palitos e faa o outro girar, dando uma volta completa.
  Dizemos que a medida de uma volta completa  360. Lemos:
trezentos e sessenta graus.
  Se voc der um giro de meia-volta, ter andado
metade do percurso anterior. A medida ser de 180
(cento e oitenta graus), que  metade de 360.
  Um giro de meia-volta representa um
ngulo raso.
  Se voc der um giro de metade de meia-volta, ter
andado metade do percurso anterior. Logo, a medida
ser de 90 (noventa graus).
  Um giro de metade de meia-volta representa um
ngulo reto.

  O grau  uma unidade de medida de um giro que corresponde  volta completa dividida por 360.

  Considere agora a figura de um plano dividido em duas regies por 
semirretas como estas _`[no adaptadas_`].

  Observe que na regio vermelha _`[no adaptada_`]  possvel
ter dois pontos que so extremidades de um
segmento que no est contido totalmente na
regio vermelha. J na regio azul _`[no adaptada_`], dois pontos
quaisquer determinam um segmento sempre
contido nessa regio; por isso, a regio azul 
chamada regio convexa.

  Uma regio do plano, convexa, determinada por duas semirretas
de mesma origem,  denominada ngulo.

  No ngulo da figura a seguir, destacamos:

<F->
                 A~^
          lado   o 
              ~^
           ~^
vrtice Oo
           a,.
              a,.
          lado   o
                 Ba,. 
<F+>

<R+>
 o O ponto O, origem das semirretas, que  o vrtice do ngulo.
<p>
 o As semirretas :,?O{a* e :,?O{b, que so os lados do ngulo.
 o A notao do ngulo  :?A{o{b*.
<R->

<149>
  Para medir um ngulo, utilizamos um transferidor.
  Acompanhe:

  O centro do transferidor deve coincidir com o vrtice
do ngulo, e a escala correspondente ao zero no
transferidor deve ficar sobre um dos lados do ngulo.
  Fazendo dessa forma,  possvel ler na escala do
transferidor o nmero interceptado pelo outro lado do
ngulo.
  No exemplo _`[no adaptado_`], a medida do ngulo :?A{o{b*`  55.
  Indicamos: med :?A{o{b*=55.

 Exerccios

<R+>
 1. Responda no caderno a atividade a seguir.
  (Saresp) Imagine que voc tem um rob tartaruga
e quer faz-lo andar num corredor sem
que ele bata nas paredes. Para fazer isso, voc
pode acionar 3 comandos: avanar (indicando
o nmero de casas), virar  direita e virar  esquerda.
Para que voc acione de forma correta
o comando, imagine-se dentro do rob.

 _`[{o smbolo y representa uma casa_`]

<F->
 yyyy
 y    y
 y    y final
 y
 entrada
<F+>

 Seus comandos, para que o rob v at o final,
devero ser:
 a) avanar 4, virar 90  direita, avanar 3, virar
90  direita, avanar 2.
<p>
 b) avanar 4, virar 90  esquerda, avanar 3,
virar 90  esquerda, avanar 2.
 c) avanar 4, virar 90  direita, avanar 3, virar
90  esquerda, avanar 2.
 d) avanar 4, virar 90  esquerda, avanar 3,
virar 90  direita, avanar 2.

 2. Toda manh Alice caminha pela praa em
frente a sua casa. Veja a trajetria de Alice.

 _`[{desenho adaptado_`]

<F->
             B
Aoccccccccco 
  _           
  _            
  _             
Do------------oC
<F+>

 Em cada ponto assinalado ela fez um giro. Use
um transferidor para medir esses giros. Registrando no caderno
as medidas encontradas.
<L>
<150>
 3. Observe os ngulos formados pelos ponteiros do relgio, nas diferentes horas.

 _`[Cinco relgios adaptados_`]
 1- Ponteiro pequeno no 3 e o ponteiro grande no 12.
 2- Ponteiro pequeno e grande no 12.
 3- Ponteiro pequeno no 4 e ponteiro grande no 12.
 4- Ponteiro pequeno no 7 e ponteiro grande 12.
 5- Ponteiro pequeno no 2 e ponteiro grande 12.

 a) Em qual das horas representadas nos relgios anteriores os ponteiros formam um ngulo reto?
 b) Indique uma outra hora em que os ponteiros de um relgio formam um ngulo reto.
 c) s 4 horas, o ngulo entre os ponteiros  maior ou menor que um ngulo reto?
<p>
 d) Das 2 horas s 3 horas, quantas voltas completas d o ponteiro grande?
 e) Das 12 horas s 12 horas e 30 minutos, o ponteiro grande gira quantos graus?

               ::::::::::::::::::::::::

 18 -- Polgonos

 Explorando

 _`[Para as atividades de 1 a 6, pea orientao ao professor_`]

 1. No caderno, classifique as linhas em simples e no simples. 

 _`[desenhos no adaptados_`].

 Linhas simples: no
apresentam ponto de
cruzamento.
 Linhas no simples:
apresentam um ou mais
pontos de cruzamento.

<p>
 2. Quais dessas linhas voc acha que podem ser chamadas de linhas abertas?
E quais podem ser chamadas de linhas fechadas?
 3. Que critrio voc usou para classificar a linha como aberta ou fechada?
 4. E quais so as linhas fechadas e simples?
<R->

  As figuras desenhadas anteriores _`[no adaptadas_`] esto totalmente contidas em um nico plano: o plano
representado por esta folha. Por isso, essas figuras so chamadas linhas planas.

<R+>
 5. Em uma folha de papel, desenhe vrias linhas planas simples fechadas e pinte a regio do
plano limitada por elas.

<151>
 6. Em qual dos quadros seguintes _`[no adaptados_`] as figuras desenhadas no apresentam reentrncias (ngulos
ou curvas para dentro)?
<R->

 Identificando polgonos

  A linha plana simples fechada limita uma regio do plano: a regio interna  linha. Essa
regio est representada pela parte colorida em cada figura _`[no adaptada_`].
  Dentre essas figuras, as que esto limitadas por linhas fechadas simples formadas apenas
por segmentos de retas so denominadas polgonos.

  Polgono  a reunio de uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de reta, com a sua 
regio interna.

  Vejamos, ento, algumas figuras geomtricas que so polgonos:

 _`[Figuras no adaptadas_`]

<152>
 Polgonos convexos

  Quando a regio interna de um polgono  uma regio convexa, temos um polgono
convexo.
  A partir de agora, no nosso estudo, sero abordados apenas os polgonos convexos.

 Nomes dos polgonos

  Observe os polgonos a seguir:

<F->
      C
      -
      ^
        ^ 
          ^   
A----------uB
<F+>

<R+>
 o Os segmentos ^c?A{b*, ^c?A{c* e ^c?B{c* so os lados desse polgono.
 o Os pontos A, B e C so os vrtices desse polgono.
 o Esse polgono tem trs ngulos internos, todos destacados
na figura.

<p>
<F->
    Q
    *::::P
   *     _
  *      _ 
Re      _
   e     _ 
    e::::jN
    M
<F+>

 o Os segmentos ^c?M{n*, ^c?N{p*, ^c?P{q*, ^c?Q{r* e ^c?R{m* so os lados desse polgono.
 o Os pontos M, N, P, Q e R so os vrtices desse polgono.
 o Esse polgono tem cinco ngulos internos, todos destacados
na figura.
<R->

  Como em qualquer polgono o nmero de ngulos  igual ao nmero de lados, os polgonos
so geralmente nomeados a partir do nmero de lados que possuem. Alguns, por
sua utilizao mais frequente, tm nomes especiais.

<p>
 _`[Tabela adaptada_`]
 Polgonos

 Nmero de lados ou de ngulos -- 
  Nome
 3 -- tringulo     
 4 -- quadriltero
 5 -- pentgono     
 6 -- hexgono      
 7 -- heptgono     
 8 -- octgono      
 9 -- enegono      
 10 -- decgono      
 11 -- undecgono    
 12 -- dodecgono   
 15 -- pentadecgono 
 20 -- icosgono     

<153>
  Observaes:
<R+>
 o H dois polgonos da tabela que no possuem
o termo *gono* em seus nomes: o tringulo e o
quadriltero.
 o H polgonos que no possuem nomes especiais,
como o polgono de 13 lados, o de 19 lados
e o de 25 lados, por exemplo.
<R->

 A palavra polgono

  Como j vimos, a palavra polgono 
formada por dois termos gregos: *poly*,
que significa vrios, muitos, e *gono*, que
significa ngulo.
  Assim, polgono significa vrios ngulos.

  Voc sabe dizer qual  o nmero mximo de lados que um polgono pode ter?

 Exerccios

<R+>
 _`[{para as atividades de 1 a 9, pea orientao ao professor_`]

 1. A figura a seguir _`[no adaptada_`]  um polgono? Justifique
sua resposta no caderno.
 2. Por que a figura geomtrica a seguir _`[no adaptada_`] no 
um polgono?

<p>
 3. Uma quadra de basquete lembra um polgono.
 a) Esse polgono  convexo?
 b) Qual o nome desse polgono?

 4. Cada quadradinho representa um quarteiro na
planta de um parque florestal. A linha azul
indica a cerca e os portes desse parque. Essa
planta representa um polgono? Em caso afirmativo,
o polgono  convexo ou no convexo?

 5. Observe as duas placas de trnsito _`[no adaptadas_`].
Elas lembram polgonos. Qual o nome do polgono representado pela
placa:
 a) A? 
 b) B?

 6. Lucca desenhou um polgono cujos vrtices
so os pontos A, B, C, D, E e F. Quantos lados
tem o polgono que Lucca 
<p>
  desenhou? Qual  o
nome desse polgono?
 7. Qual  o polgono que tem o menor nmero
de lados? 
<R->
<154>
 8. Leia esta informao:

  Um polgono se diz regular quando
todos os seus lados tm a mesma
medida e todos os seus ngulos
internos tm a mesma medida.

<R+>
 Veja a placa de trnsito
a seguir _`[no adapatada_`].
 
 Desprezando a espessura da
placa, voc pode afirmar que ela
representa um polgono regular?
 9. Theo desenhou em uma folha os dois polgonos
regulares a seguir _`[no adapatados_`]. Em cada polgono
est indicada a medida do lado, em unidades
de comprimento. Qual  a medida do contorno
de cada polgono que Theo desenhou?

<p>
 Brasil real

 wr Arte/Histria

 _`[Para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

 1. O que a Arte e a Matemtica tm em
comum? O interesse pelas formas, dentre
outras coisas. At mesmo os nomes de alguns
movimentos artsticos como o movimento
cubista.
<R->

  O movimento cubista trata as formas da natureza
por meio de figuras geomtricas, representando
todas as partes de um objeto no mesmo plano.
  Seu criador e maior expoente foi Pablo Picasso.

<R+>
 Dos artistas brasileiros influenciados pelo movimento cubista, destacamos Tarsila do Amaral
(1886-1973). Tarsila, que nasceu em Capivari, So 
  Paulo,  considerada uma das mais importantes
artistas brasileiras e a mais representativa da primeira fase do movimento modernista
brasileiro.
 A seguir, conhea trs pinturas de Tarsila do Amaral.

 _`[Trs pinturas seguidas por legenda_`]
 Legenda 1: *A Lua*, de 
  Tarsila do Amaral, 1928.
<155>
 Legenda 2: *So Paulo*, de 
  Tarsila do Amaral, 1924. 
 Legenda 3: *Estao Central do Brasil*, de Tarsila do 
  Amaral, 1924.

 o Agora, responda no caderno:
 a) Em todas essas obras encontramos representaes de segmentos de reta e polgonos?
Justifique.
 b) Em quais dessas obras aparecem representaes de retas paralelas e de retas concorrentes?
  Descreva um local da tela onde isso ocorre.
 c) Descreva trs lugares onde aparecem ngulos na obra *So Paulo*.
 d) Quais os tipos de polgonos que aparecem representados em cada pintura?

 2. Inspire-se nos artistas at aqui apresentados e faa um bonito desenho com figuras geomtricas.
Pinte-o e pea para um colega identificar quais figuras geomtricas voc usou em sua
obra. No se esquea de dar um ttulo ao seu trabalho.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<156>
<p>
 19 -- Tringulos e quadrilteros

 Tringulos

  Os tringulos so polgonos de trs lados.

<F-> 
      ^k
    ^  k
  ^    k
       k
  ^    k
    ^  k
      ^k
       
     -
     ^
       ^ 
         ^   
 ----------u

 ccccccccm
        
       
       
     
<F+>

<p>
  Os tringulos podem ser classificados segundo as medidas dos seus lados.

  Se voc usar uma rgua, vai observar que o tringulo
da figura a seguir possui os trs lados com a
mesma medida.
  Tringulos desse tipo so chamados tringulos
equilteros.

<F->
       A
                
                
               
              
 B--------uC  
<F+>

  Usando uma rgua, voc pode observar que o tringulo
a seguir possui dois lados com a mesma medida.
  Tringulos desse tipo so chamados tringulos
issceles.

<p>
<F->
         A
                  
                  
                 
             
             
                
 B------------uC  
<F+>

  Se voc usar uma rgua, vai observar que o tringulo
da figura a seguir possui os trs lados com medidas
diferentes.
  Tringulos desse tipo so chamados tringulos
escalenos.

<F->
      C
       -
       ^
         ^ 
           ^   
 A----------uB
<F+>

<157>
<p>
 Quadrilteros
 
<R+>
 Estas retas so paralelas?

 Com rgua e esquadro  fcil 
  descobrir!
<R->

  Veja como verificar, com rgua e esquadro, se duas retas so paralelas:

  Posicione o esquadro em uma das
retas.
  Fixe a rgua encostada em um lado
do esquadro.
  Deslize o esquadro e observe que o
outro lado coincide com a reta s,
mas no com a reta t.

  As retas r e s so paralelas, as retas r e t no so paralelas.

<p>
 Chegou a sua vez!

  Com rgua e esquadro, verifique se h lados paralelos nos quadrilteros a seguir.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Conhecendo os quadrilteros

  Os quadrilteros so polgonos de quatro lados.

<F->
 pcccccccc^ 
 l          ^
 l            ^
 l              ^
 v----------------u

     --------- 
              ^
                ^
                  ^
 -------------------u

<p>
 !:::::::::::::  
 l             _  
 l             _ 
 l             _  
 h:::::::::::::j
             
    cccccc
         
        
       
^ccccccc
<F+>

  Dentre os quadrilteros, alguns assumem formas particulares: so os trapzios e
os paralelogramos.

<158>
<R+>
 o Trapzios so quadrilteros que tm dois lados paralelos e dois lados no paralelos.
<F->
             
    D---------C 
               ^
                 ^
                   ^
A-------------------uB
<F+>

<p>
 ^c?A{b* e ^c?C{d* so paralelos.
 ^c?A{d* e ^c?B{c* no so paralelos.

<F->
Sl^  
  l  ^              
  l    ^         
  l      ^
  l        _R  
  h::::::::j
 P        Q
<F+>


 ^c?P{s* e ^c?Q{r* so paralelos.
 ^c?P{q* e ^c?R{s* no so paralelos.

 o Paralelogramos so quadrilteros que tm os lados opostos paralelos e congruentes.

<F->
    DccccccC
           
          
         
A^cccccccB
<F+>

<p>
 ^c?A{b* e ^c?C{d* so paralelos.
 ^c?A{d* e ^c?B{c* so paralelos.

<F->
Q!:::::::::P
  l         _  
  l         _ 
  l         _  
Mh:::::::::jN
<F+>

 ^c?M{n* e ^c?P{q* so paralelos.
 ^c?M{q* e ^c?N{p* so paralelos.
<R->

  Por apresentarem caractersticas prprias, alguns paralelogramos tm nomes particulares:
 
 Retngulo
  Os quatro ngulos tm
a mesma medida.

<F->
D!::::::::::::!:C
  l,_           l,_  
  r:j           h:w 
  l               _
  r:           !:w
  l,_           l,_
Ah:j:::::::::::h:jB
<F+>

 Losango
  Os quatro lados tm
a mesma medida.

<F->
       C             
      *a?          
    *a   ^?                                       
D*a       ^?B                        
  ^?       *a                         
    ^?   *a                  
      ^*a                    
      A                     
<F+>

 Quadrado
  Os quatro ngulos e os quatro
lados tm a mesma medida.

<F->
D!:::::!:C
  l,_    l,_  
  r:j    h:w 
  l        _
  r:    !:w
  l,_    l,_
Ah:j::::h:jB
<F+>

<p>
 Exerccios

<R+>
 _`[{para as atividades de 1 a 8, pea orientao ao professor_`]

 1. Observe os trs tringulos desenhados na
malha _`[no adaptada_`] a seguir. No caderno, identifique cada
um como equiltero, issceles ou escaleno.

 2. Desenhei alguns quadrilteros na malha
quadriculada _`[no adaptada_`].
  Quais deles so:
 a) paralelogramos? 
 b) trapzios?

<159>
 3. De acordo com as medidas dos lados, classifique
o tringulo que aparece na foto.

 _`[{foto: Tringulo de sinalizao de um veculo_`]
 
<p>
 4. Nas suas aulas de Geometria e de Desenho,
voc usa os instrumentos das figuras a seguir.
  Eles so chamados esquadros.

<F->
Esquadro 1.

           *
         *a _
       *a   _
     *a     _
   *a       _
 }u---------#

Esquadro 2.

        
        _
        _
        _
        _
        _
        _
 -------#
<F+>

 Como voc classifica:
 a) o esquadro 1? 
 b) o esquadro 2?
<L>
 5. A figura _`[no adaptada_`] nos mostra um hexgono dividido
em certo nmero de tringulos, todos do mesmo
tamanho.
 a) Quantos tringulos voc observa na figura?
 b) Que tipo de tringulo  cada um deles?

 6. Helena est preparando uma atividade
para os seus alunos e desenhou alguns quadrilteros
em papel quadriculado. Veja:

<F->
 pccccc   _ccccc
 l     _   _      
 l     _   _       
 l     _   _        
 l     _   _         
 v-----#   _----------

<p>
             
          !:::::::::: 
          l          _
          l          _ 
          l          _
          l          _
          h::::::::::j
    

     ccccccccc  ~::::::::::::::, 
                             
                            
                           
 ^cccccccccc          ------

 _a.         pcccc
 _  a.       l    _
 _    a.     l    _
 _      l    l    _
 _      l    l    _
 _    ^     l    _
 _  ^       l    _
 _^         v----#

<p>
    l 
    l       
    l         *a?
 s   l       *a   ^?
 l   l     *a       ^?
 l   l    ^?        *a
    l      ^?    *a
    l        ^?*a
    l
    l
<F+>

 a) Quantos trapzios ela desenhou?
 b) Quantas dessas figuras so paralelogramos?
 c) Dentre os paralelogramos, h quantos losangos?
 d) Dentre os paralelogramos, h quantos quadrados?

 7. Com 6 palitos de fsforo
formei um tringulo equiltero.
  No caderno, acrescente 3 palitos
iguais a estes _`[no adaptados_`], de modo
que fiquem 5 tringulos
equilteros, sendo 4 pequenos
e 1 grande.
 8. Com 24 palitos formei
estes quadrados _`[no adaptados_`].
  Copie-os no caderno.
Depois, retire 6 destes
palitos para formar
3 quadrados de tamanhos
diferentes.
<R->

<160>
 Desafio!

  Convide um colega e conte os tringulos!
  Use 24 palitos de fsforo para formar uma figura
como esta _`[no adaptada_`].
  Agora conte quantos tringulos h nessa figura.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<p>
 Brasil Real

 wr Geografia/Histria/
  /Cidadania

<R+>
 _`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

 1. Na escola, Pedro deve desenhar um mapa do Brasil com os Estados e o Distrito Federal. Para
facilitar o seu trabalho, Pedro resolveu desenhar os contornos dos Estados na forma de polgonos.
Observe o mapa do Brasil que Pedro desenhou:

 _`[Mapa: *Representao do mapa do Brasil feita por Pedro* no adaptado_`]

 Destacando do desenho de Pedro a regio Nordeste, responda:
 a) Quais Estados foram representados por tringulos?
 b) E por quadrilteros?
<p>
 c) Qual o nome do polgono que representa o Estado do Cear?
 d) Quantos lados tem o polgono que representa a Bahia? Qual o nome desse polgono?
 e) E o Estado onde voc vive, est representado no mapa por um polgono de quantos lados?

<161>
 2. A bandeira  um dos Smbolos Nacionais de um pas.

 _`[{desenho da bandeira brasileira_`]
<R->

  Os Smbolos Nacionais do
Brasil so quatro: a bandeira,
as armas (ou braso), o selo e
o hino.
  Esses smbolos representam
o Brasil em cerimnias
oficiais, eventos esportivos,
documentos importantes e
localidades oficiais.
  Nas escolas, por exemplo, 
obrigatrio o hasteamento da
Bandeira Nacional.

<R+>
 a) Quais polgonos voc pode identificar na nossa bandeira?
  Escreva todas as caractersticas que voc conhece a respeito
desses polgonos.

 b) Cada Estado e cidade brasileiros tambm possuem suas
bandeiras. A seguir temos as bandeiras de trs Estados da regio
Norte do Brasil: Amap, Amazonas e Par.

 _`[{bandeiras no adaptadas_`]

 o Sabendo que:
 I. A bandeira do Amazonas no contm tringulos.
 II. A bandeira do Amap contm um hexgono.
 III. A bandeira do Par contm um polgono no convexo.
 IV. A bandeira que contm trapzios  a do Amap.
 Identifique cada um dos 3 Estados com sua bandeira.

 c) Voc conhece a bandeira do seu Estado e da sua cidade? Pesquise e identifique se h polgonos
representados nessas bandeiras.
<R->

<162>
 O tangram

  O Tangram  um quebra-cabea muito antigo, de origem chinesa, composto por 7 peas. Que tal fazer um Tangram para voc?

 _`[{tangram no adaptado_`]

 Chegou a sua vez!

<R+>
 1. Usando um pedao de cartolina, reproduza o quadriculado em 88 e construa um Tangram.
 2. Recorte as 7 peas do 
  Tangram e tente construir algumas figuras.
 3. Construa um tringulo usando 3 peas.
 4. Agora, faa um quadrado usando 3 peas.
<p>
 5. Construa, usando peas do Tangram, um tringulo, um quadrado, um paralelogramo e um
trapzio.
 6. Tente montar as figuras a seguir usando as 7 peas do seu Tangram.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               oooooooooooo

<163>
<p>
<R+>
 Unidade 5

 A Forma Fracionria dos 
  Nmeros Racionais

 O que quer dizer... FRAO?
<R->

  A palavra frao vem do latim fractione e quer dizer "dividir, quebrar, rasgar".
  Frao, no dicionrio, tambm quer dizer "poro", "parte de um todo".
 
  Aproveite e procure no dicionrio
os significados de:
 fracionar
 fracionamento
 fraturar

  Tomei 14
de litro de leite.
  Por favor, me d 34
de carne moda.
  Preciso de um cano de meia polegada. 
  13 dos jogadores da seleo brasileira
jogam em times estrangeiros.
  Meia pizza napolitana e meia de atum.

  Quantos exemplos mais voc pode dar, pensando em situaes do seu dia a dia em
que se usem fraes?

<R+>
 Pra voc pensar, sem se cansar!
<R->
 
  Em um inteiro h
quantas metades?

<R+>
 O mundo inteiro
representado no smbolo
dos JOGOS OLMPICOS
<R->

  Os anis representam os continentes:
Europa (azul), sia (amarelo), frica (preto),
Oceania (verde) e Amrica (vermelho). Com
essas cinco cores podem ser compostas
todas as bandeiras do mundo.

 _`[Foto: Bandeira dos Jogos 
  Olmpicos_`]

               ::::::::::::::::::::::::

<164>
 20 -- A ideia de frao

 Notcias antigas a respeito de 
  fraes

  As notcias mais antigas do uso das fraes vm do Egito Antigo. As terras que margeavam o Rio Nilo eram divididas entre
os grupos familiares, em troca de pagamento de tributos ao Estado.
  Como o Rio Nilo sofria inundaes peridicas, as terras tinham de ser sempre medidas e remarcadas, j que o tributo era
pago proporcionalmente  rea a ser cultivada.

<R+>
 _`[Foto: Dois egpcios manipulando uma corda, contendo alguns ns_`]
<R->

 Para que servem as fraes?

  Os nmeros fracionrios surgiram da necessidade de representar
uma medida que no tem uma quantidade inteira
de unidades, isto , da necessidade de se repartir a unidade de
medida.
  Os egpcios conheciam as fraes de numerador 1 e esta
era a forma que eles usavam para represent-las:

<R+>
 _`[Smbolos adaptados_`]
 Um crculo seguido de trs hastes verticais :> 13
 Um crculo seguido de seis hastes verticais :> 16
 Um crculo seguido de dois ossos de calcanhar :> 120

 _`[Foto seguida por legenda_`]
 Legenda: O Papiro de Rhind, datado do sculo XVII a.C., apresenta
algumas regras de operaes com fraes e  um
importante documento matemtico do Antigo Egito.

<165>
<p>
 Explorando

 1. Em uma pizzaria, as pizzas so divididas em 8 pedaos iguais. Antnio e sua namorada pediram
uma pizza, mas no conseguiram com-la inteira. Veja quantos pedaos sobraram:

 _`[Desenho adaptado_`]
 Legenda:
<F->
!:::
l_ -- representa um pedao 
h:::j     de pizza 

!::::::::::::::::::::::::
l_____   _   _   _
h:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j
<F+>

 a) Quantos pedaos Antnio e a namorada comeram? 
 b) Quantos pedaos restaram? 

 2. No caderno, indique quantos pedaos j foram comidos e quantos sobraram em cada pizza.

<p>
 _`[Desenhos adaptados_`]
 Legenda:
<F->
!:::
l_ -- representa um pedao 
h:::j     de pizza 

Mesa 1
!::::::::::::::::::::::::
l____   _   _   _   _
h:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j

Mesa 2
!::::::::::::::::::::::::
l______   _   _
h:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j

Mesa 3
!::::::::::::::::::::::::
l___   _   _   _   _   _
h:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j
<F+>

 o Em qual das mesas j foi consumida mais da metade da pizza?

<p>
 Conhecendo as fraes

 o Recorte uma tira de papel, assim:

 _`[{tira de papel em forma de retngulo_`]
<R->

  Dobre a tira inteira ao meio.
  Voc vai obter duas partes iguais.
  No caso, cada parte obtida representa a metade ou um meio da tira.
<R+>
 
 A representao numrica  12.

 _`[{tira de papel retngular dividida em 2 partes iguais com uma 
delas pintada. Em cada metade, h a
frao: 12_`]

<166>
 o Recorte uma outra tira de papel e divida-a em trs partes iguais.
Cada parte da tira inteira representar a tera parte ou um tero da tira.

 A representao numrica  13

 _`[{tira de papel dividida em 3 partes iguais com uma delas pintada. 
Em cada parte, h a frao: 13_`]

 Observe novamente a tira dividida em trs partes iguais e pinte duas dessas partes de amarelo.
Dessa forma, podemos dizer que dois teros da tira esto pintados de amarelo.
  
 A representao numrica  23

 _`[{tira de papel dividida em 3 partes iguais com duas delas 
pintadas. Em cada parte, h a frao: 13_`]

 o Recorte uma nova tira de papel. Dobre-a ao meio e, a seguir, novamente ao meio. Cada
parte da tira inteira representar a quarta parte ou um quarto da tira.

 A representao numrica  14

 _`[{tira de papel dividida em 4 partes iguais com uma delas pintada. 
Em cada parte, h a frao: 14_`]

 Observe novamente a tira dividida em quatro partes iguais e pinte trs dessas partes
de azul. Dessa forma, podemos dizer que trs quartos da tira esto pintados de azul.

 A representao numrica  34

 _`[{tira de papel dividida em 4 partes iguais com trs delas 
pintadas. Em cada parte, h a frao: 14_`]
<R->

<p>
  Agora acompanhe os exemplos a seguir.

<R+>
 1- A foto a seguir  de uma equipe de vlei.

 _`[Foto: equipe feminina de vlei composta por seis jogadoras_`]

 Cada jogadora representa 16 (um sexto) da equipe
de vlei. A quantidade de jogadoras que aparecem
agachadas representa 36 (trs sextos) do nmero
de jogadoras da equipe.

<167>
 2- Voc se lembra que, na pizzaria onde Antnio e a namorada fizeram pedido, as pizzas so
divididas em 8 pedaos iguais? Numericamente, cada pedao
pode ser representado por 18 (um oitavo). Antnio e a namorada
comeram 3 pedaos, ou seja, 
38 (trs oitavos) da pizza, e restaram 5 
pedaos, ou seja, 
<p>
  58 (cinco oitavos) da pizza.
<R->

 _`[Desenho adaptado_`]
 Legenda:
<F->
!:::
l_ -- representa um pedao 
h:::j     de pizza 
<F+>

!::::::::::::::::::::::::
l_____   _   _   _
h:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j

  12, 13, 23, 14, 34, 15, 25, 18, 38 e 58
  So chamados fraes e indicam 
partes de figuras ou de quantidades.

 Observe mais estes exemplos:

<R+>
 _`[Trs relgios adaptados_`]
 1- ponteiro pequeno no 12 e o ponteiro grande no 12. Este relgio marca meio-dia. 12 horas.
<p>
 2- ponteiro pequeno um pouco depois do 12 e o ponteiro grande no 3. Este relgio marca meio-dia e quinze. 12 horas e 14.
 3- ponteiro pequeno entre 12 e o 1 e o ponteiro grande no 6. Este relgio marca meio-dia e meia. 12 horas e 12.
<R->

  O numerador e o denominador so os termos de uma frao.

 23
 2 -- numerador
 3 -- denominador

<R+>
 o O denominador 3 indica em quantas partes iguais uma unidade foi dividida.
 o O numerador 2 indica quantas dessas partes foram consideradas.
<R->
  Veja como so lidas (ou escritas por extenso) algumas fraes:

<p>
 12 um meio
 23 dois teros
 14 um quarto
 35 trs quintos
 16 um sexto
 47 quatro stimos
 38 trs oitavos
 19 um nono
 110 um dcimo
 1011 dez onze avos
 215 dois quinze avos
 1100 um centsimo

<168>
 Exerccios

<R+>
 1. Observe as figuras e, no caderno, indique
as que esto divididas em partes de mesmo tamanho.

 _`[Figuras no adaptadas_`]

 2. Os tringulos destacados representam que
frao de cada figura?

<p>
 _`[Desenhos adaptados_`]
 a) Quadrado dividido em 4 tringulos iguais sendo que um est pintado.
 b) Pentgono dividido em 10 tringulos iguais sendo que um est pintado.

 3. Cada figura representa um segmento de
reta. Escreva as fraes que correspondem aos
trechos assinalados em azul e aos trechos assinalados
em vermelho em cada segmento:
 
 _`[Figuras adaptadas_`]
 a) segmento dividido em 8 partes iguais sendo 7 azuis e 1 vermelha.
 b) segmento dividido em 10 partes iguais sendo 3 azuis e 7 vermelhas.
 c) segmento dividido em 12 partes iguais sendo 7 azuis e 5 vermelhas. 
<p>
 d) segmento dividido em 6 partes iguais sendo 1 azul e 5 vermelhas.

 4. Para encher uma xcara so necessrias
8 colheres de farinha. Cada colher de farinha
representa que frao da quantidade de farinha
que se pode colocar na xcara?

 5. Uma semana tem 7 dias. Que frao da semana
 representada por:
 a) 3 dias? 
 b) 6 dias?

 6. Que frao do ano 7 meses representa?
 7. Veja quantos ovos Helena tem para fazer
um doce.

 _`[Figura: Helena segura uma caixa com 12 ovos_`]

 Se ela usar 5 desses ovos, que frao da quantidade
de ovos Helena vai usar?
<L>
 8. Estamos no dia 17 em um ms de 30 dias.
Que frao desse ms j se passou?

 9. As figuras mostram o marcador de combustvel
de um carro.

<F->
_`[Figuras adaptadas_`]
Legenda:
m -- ponteiro no marcador

1) r:b:r:b:r         
            m

2) r:b:r:b:r
      m

3) r:b:r:b:r
        m

4) r:b:r:b:r
          m
<F+>

<p>
 Se a figura 1 mostra o tanque cheio, qual das
outras figuras representa:
 a) 12 tanque? 
 b) 14 de tanque?
 c) 34 de tanque?

<169>
 Brasil real

 wr Geografia

 1. Voc j sabe que o Brasil  dividido em 5 regies.

 _`["Mapa do Brasil" adaptado:
 Regio Norte pintada na cor verde: AC, AM, RO, RR, AP, PA, 
TO.
 Regio Nordeste pintada na cor amarela: MA, PI, CE, RN, PB, PE, 
AL, SE, BA.
 Regio Centro-Oeste pintada na cor laranja: MT, GO, MS, 
DF.
 Regio Sudeste pintada na cor rosa: MG, ES, SP, RJ.
 Regio Sul pintada na cor marrom: PR, SC, RS_`]
<R->
<L>
  Essa diviso foi proposta pelo IBGE em
1969 e levou em considerao apenas
aspectos naturais do pas, como clima,
relevo, vegetao e hidrografia. Exceo
a esse critrio, a Regio Sudeste foi
criada levando-se em conta aspectos
humanos (desenvolvimentos industrial e
urbano).

<R+>
 a) Quais estados compem cada uma
das regies brasileiras?
 b) Quantos estados tm o 
  Brasil?
 c) O nmero de estados que compe a
Regio Nordeste representa que frao
do nmero de estados brasileiros?
 d) O nmero de estados da Regio Sul
representa que frao do nmero dos
estados do 
  Brasil?
 e) O nmero e estados das regies Norte
e Nordeste, juntas, representa mais
ou menos da metade do nmero dos
estados brasileiros? Por qu?

 wr Geografia/Histria

 2. Dentre os smbolos de cada estado brasileiro esto as bandeiras, os hinos e os
brases (ou braso de armas).

 _`[Foto do Braso_`]
 Legenda: O texto em latim *Pro Brasilia fiant eximia*
significa "Pelo Brasil faam-se grandes
coisas".

 Fonte: ~,www.saopaulo.sp.gov.br~,
  Acesso em: 22 out. 2008.
<R->

  O braso  um desenho criado com a finalidade de identificar
indivduos, famlias, cidades, regies e naes.
   uma tradio europeia, principalmente da Idade Mdia, que
marcava um ato heroico ou feito importante de determinada famlia.

<R+>
 O Braso de Armas do estado de So Paulo, criado pelo pintor
Wasth Rodrigues e executado pelo escultor Luiz Morrone, foi
instalado no Salo dos Despachos do Palcio dos 
  Bandeirantes,
em maro de 1987.
 a) A estrela que compe o Braso de Armas do estado de So
Paulo est dividida em quantas partes?
 b) Que frao dessa estrela est pintada de cinza?
 c) Voc conhece o braso do estado onde voc mora? Pesquise
e descreva os smbolos nele representados. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<170>
 wr Esportes

 3. Em 2006, os frequentadores do Autdromo de Interlagos, em So Paulo, viveram
muitas emoes com a vitria de Felipe Massa, no Grande Prmio do Brasil de Frmula 1. A
ltima vez que um piloto brasileiro havia ganhado a corrida em 
  Interlagos foi em 1993, com
Ayrton Senna.
 a) Na prova de 2006, deram largada 22 carros, e 5 deles no completaram a corrida. Que frao
dos participantes dessa corrida completaram o circuito?
 b) De 1973, primeiro ano em que a pista de Interlagos fez parte oficial do circuito de Frmula
1, at 2006, foram 24 corridas realizadas no Autdromo de Interlagos. Veja na tabela a
seguir os pilotos brasileiros que venceram o GP Brasil de Frmula 1 nesse perodo.

<p>
 Pilotos Brasileiros que venceram a Frmula 1 em interlagos

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::
l Ano  _ Piloto              _
r:::::::w::::::::::::::::::::::w
l 1973 _ Emerson Fittipaldi _
r:::::::w::::::::::::::::::::::w
l 1974 _ Emerson Fittipaldi _
r:::::::w::::::::::::::::::::::w
l 1975 _ Jos Carlos Pace  _  
r:::::::w::::::::::::::::::::::w
l 1991 _ Ayrton Senna       _ 
r:::::::w::::::::::::::::::::::w
l 1993 _ Ayrton Senna       _
r:::::::w::::::::::::::::::::::w
l 2006 _ Felipe Massa       _ 
h:::::::j::::::::::::::::::::::j
<F+>

 Fonte: ~,www.~
   autodromointerlagos.com~,
  Acesso em: 01 jul. 2007.

 _`[Foto seguida por sua legenda_`]
 Legenda: Felipe Massa, vencedor do GP Brasil de F1 de 2006, em So Paulo.

 o Das 24 competies do GP Brasil de Frmula
1, que frao representa as corridas
vencidas por pilotos brasileiros?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<R+>
 21 -- Resolvendo problemas que envolvem fraes
<R->

  Vamos considerar as seguintes situaes:

<R+>
 1- Veja quantos ovos Helena tem. Ela vai
precisar de 13 dessa quantidade para
fazer o bolo de aniversrio de Mariana.
  De quantos ovos ela vai precisar?

 _`[Ilustrao: Helena fazendo bolo, sobre a mesa h uma caixa com 12 ovos e trs ovos fora dela_`]

 Helena tem 15 ovos.
 13 de 15 d 153=5.
 Helena vai precisar de 5 ovos.
<L>
<171>
 2- Mariana est fazendo sanduches para a sua festa de aniversrio. Ela j montou 16
sanduches, o que corresponde a 14 do nmero de sanduches que ela pretende fazer.
  Quantos sanduches Mariana vai montar para a festa?

 Esquema:

<F->
!::::::::::::
l16_   _   _   _
h:::j:::j:::j:::j
r:::w
 14

14 corresponde a 16.

<p>
      44
r:::::::::::::::w
!::::::::::::
l16_16_16_16_
h:::j:::j:::j:::j
r:::::::::::::::w
     416

44 corresponde a 416=64
<F+>

 Mariana vai montar 64 sanduches para a festa.

 3- Mariana comprou 20 garrafas de suco para a festa. Foram consumidas 45
dessa quantidade. Quantas garrafas foram consumidas?

<p>
 Esquema:

<F->
          55
r::::::::::::::::::::::::w
!::::::::::::::::::::
l    _    _    _    _    _
h::::j::::j::::j::::j::::j
r::::::::::::::::::::::::w
          20

55 corresponde a 20

 15
r::::w
!::::::::::::::::::::
l 4 _    _    _    _    _
h::::j::::j::::j::::j::::j
r::::w
 205

15 corresponde a 205=4

<p>
        45
r:::::::::::::::::::w
!::::::::::::::::::::
l 4 _ 4 _ 4 _ 4 _    _
h::::j::::j::::j::::j::::j
r:::::::::::::::::::w
        44

45 corresponde a 44=16

Foram consumidas 16 garrafas.
<F+>

<172>
 4- Dos amigos que Mariana convidou para a festa, 20 estudam na mesma classe que ela,
o que corresponde a 56 do nmero de convidados. Quantas pessoas Mariana convidou
para a festa?
  Resolvendo a situao:

 56 correspondem a 20.
 16 corresponde a 205=4.
 66 correspondem a 64=24.

 Mariana convidou 24 pessoas.

<p>
 Brasil real

 wr Esportes

 1. Oscar Schmidt, uma das maiores
estrelas do basquete mundial, acertou 60
lanamentos, dos 72 que fez em um treino.
  Desses, 35 foram de 3 pontos e os restantes,
de 2 pontos.
 a) Quantos arremessos de 3 pontos Oscar
acertou?
 b) Quantos arremessos de 2 pontos ele acertou?
 c) Quantos pontos Oscar marcou nesse treino?

 _`[Foto seguida por legenda_`]
 Legenda: "Criado pelo professor
de Educao Fsica
canadense James
Naismith (foto), em
1891, o basquete foi
introduzido no Brasil
pelo estadunidense
Augusto Shaw. No incio,
era um jogo praticado
principalmente por
mulheres, mas aos poucos
o persistente professor foi
convencendo seus alunos
de que o basquete no era
um jogo apenas feminino.
Quebrada a resistncia,
ele conseguiu montar a
primeira equipe masculina
do Mackenzie College, em
So Paulo, no ano de 1896."

 wr Esporte

 2. Em 2006, cerca de 670 atletas
brasileiros, que no contavam com a ajuda
de um patrocinador, foram beneficiados com
a bolsa-atleta do Governo Federal, que  um
benefcio mensal com durao de um ano.
Dentre os contemplados estavam 40 atletas
olmpicos ou paraolmpicos. Que frao representa os atletas olmpicos
ou paraolmpicos dos contemplados com a
bolsa-atleta?

<p>
 3. Dos 25.543 candidatos inscritos para o
exame vestibular da Universidade Estadual
de Londrina (UEL), foram chamados para a
segunda fase 11.293. A segunda fase foi feita
em dois dias. No primeiro, foram aplicados
20 testes de Lngua Portuguesa, Literatura
Brasileira e Portuguesa, 10 testes de Lngua
Estrangeira e uma redao. No segundo dia,
os candidatos resolveram 40 testes de duas
disciplinas de conhecimentos especficos
do curso escolhido.
 a) No primeiro dia um candidato acertou 12
testes. Que frao dos testes dessa prova ele
acertou nesse dia? 
 b) Um candidato que acertou 35 dos testes
do primeiro dia e 58 dos testes do segundo
dia, quantos testes acertou ao todo na segunda
fase?

<173>
<p>
 4. A Universidade Estadual do Cear
(UECE) recebeu a inscrio de 25.048 candidatos
para o exame vestibular. A prova sempre
 composta de questes objetivas de
conhecimentos gerais, sendo quatorze de
Lngua Portuguesa, seis de Lngua Estrangeira,
seis de Geografia, seis de Histria, dez
de Matemtica, seis de Fsica, seis de Qumica
e seis de Biologia.
 a) No caderno, organize uma tabela com duas colunas: uma para quantidade de questes e
outra para a rea do conhecimento. Complete a tabela com as informaes j fornecidas.
 b) O vestibular da UECE  composto por quantas questes?
 c) Um candidato que responder corretamente  metade dessa prova, quantas questes acertar?
 d) Um candidato que acertar apenas um quinto dessa prova, quantas questes acertar?
<p>
 e) Um candidato que errou vinte questes dessa prova, que frao da prova acertou?
 f) No exame do ano passado, um candidato acertou todas as questes de Lngua Portuguesa
e Matemtica, mas sentiu-se mal e no pde responder a mais nenhuma questo. Que frao
da prova esse candidato acertou?

 Exerccios

 1. Uma sala de aula tem 36 alunos. Em um determinado dia faltou 19 dos alunos. Quantos
alunos faltaram nesse dia?

 2. Veja a receita do bolo de chocolate de Helena.

 quinta parte de 1 litro de leite
 250 gramas de farinha de trigo
 14 de 1 quilograma de manteiga
 oitava parte de 1 quilograma de chocolate
 12 quilograma de acar 

 a) Sabendo que 1 litro equivale a 1.000 mililitros,
quantos mililitros de leite so usados nessa
receita?
 b) Que frao do quilograma (1.000 gramas) representa
250 gramas de farinha?
 c) Quantos gramas representam 12 quilograma de acar?

 3. Mariana adora gua-de-coco e resolveu encomendar
certo nmero de cocos para o seu
aniversrio. Foram consumidos 16 cocos, o que
correspondia a 13 da quantidade encomendada.
Quantos cocos foram encomendados?
 4. Havia 24 candidatos para uma vaga de gerente
em uma empresa. Desses, 16 no compareceu
 prova de seleo. Quantos candidatos
participaram da prova?

 5. Um professor de Educao Fsica verificou
que 13 dos alunos de uma classe pratica voleibol.
Se a classe tem 42 
<p>
  alunos, determine quantos
alunos:
 a) praticam voleibol.
 b) no praticam esse esporte.

<174>
 6. Uma fbrica produz N brinquedos para
uma loja. Na entrega, verificou-se que 75 brinquedos
apresentavam algum defeito, o que correspondia
a 16 do nmero de brinquedos produzidos.
Qual  o valor de N?
 7. Um prmio de 600 reais ser repartido entre
os trs primeiros colocados de um festival
de msica. Ao primeiro colocado caber
12 dessa quantia; ao segundo,
13; e ao terceiro caber
a quantia restante. Qual a quantia que
cada um dos trs ganhadores receber?
 8. Um programa de computador, cada vez
que  executado, reduz  metade o nmero
de linhas verticais e o nmero de linhas horizontais
que formam uma imagem digital. Uma
imagem com 2.048 linhas verticais e 1.024 linhas
horizontais sofre uma reduo para 256
linhas verticais e 128 linhas horizontais. Para
que essa reduo tenha ocorrido, o programa
foi executado n vezes. Qual  o valor de n?
 9. No oramento da prefeitura de uma cidade,
a verba mensal de 2.400.000 reais  destinada 
Educao. Sabe-se que 34 desse montante  dirigido
para o Ensino Fundamental. Considerando
essa informao, qual  a verba destinada ao
Ensino Fundamental?
 10. Em uma escola de ingls h uma classe
em que 9 alunos tm menos de 20 anos, o que
corresponde a 38 do nmero de alunos da sala.
Quantos alunos h nessa sala?
 11. Sabe-se que 12.000 pessoas lotam totalmente
a praa principal de uma cidade, o que
corresponde a 27 da populao dessa cidade.
Qual  a populao dessa cidade?
 12. A equipe de recrutamento e seleo de
uma empresa entrevistou certo nmero de
candidatos a determinado emprego. Foram
aprovados 120 candidatos, o que correspondia
a 58 do nmero de candidatos entrevistados.
  Quantas pessoas foram entrevistadas?

 13. Copie no caderno os quadradinhos a seguir.
Depois, diga quantos devem ser coloridos
para representar:

 !::::::::::::
 l  _  _  _  _  _  _
 r::w::w::w::w::w::w
 l  _  _  _  _  _  _
 r::w::w::w::w::w::w
 l  _  _  _  _  _  _
 h::j::j::j::j::j::j

 a) 12 da figura.
 b) 23 da figura. 
 c) 56 da figura. 
 d) 49 da figura.

 14. O ms de setembro tem 30 dias. J se
passaram 710 do nmero de dias do ms.
  Quantos dias ainda faltam para terminar o ms
de setembro?
 15. Ao entrar em um shopping, Laura tinha
300 reais. Fez compras em 3 lojas. Em cada
uma delas gastou 2 reais a mais do que a quarta
parte da quantia que tinha ao entrar na
1 loja. Ao sair da 3 loja, quantos reais ainda
restavam para 
  Laura?
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Quarta Parte